\chapter{Дифференцирование функций многих переменых}
  \section{Метрические пространства}
    \subsection{Основные определения. Предел.}
      \definition[метрическое пространство]{
        Если на множестве \(X\) задана функция \(\rho : X\times X \to
        \realnum_+\), такая, что
        \begin{enumerate}
          \item
            \(\rho(a, b) = 0 \iff a = b\)
          \item
            \(\rho(a, b) = \rho(b, a)\)
          \item
            \(\rho(a, b) + \rho(b, c) \ge \rho(a, c)\)
        \end{enumerate}
        то \((X, \rho)\) называется \defined{метрическим пространством}, а \(\rho\) --
        \defined[метрика]{метрикой}.
      }
      На метрическом пространстве можно определить предел: \[
        \lim_n x_n = x_0 \iff \lim_n \rho(x_n, x_0)
      \]. Начнём определять топологию.
      \definition[замкнутый шар]{
        \[
          B(x_0, r) = \{ x \in X | \rho(x,  x_0) \le r\}
        \] называется \defined{замкнутым шаром}.
      }
      \definition[открытый шар]{
        \[
          U(x_0, r) = \{ x \in X | \rho(x,  x_0) < r\}
        \] называется \defined{открытым шаром} или окрестностью точки \(x_0\) радиуса
        \(r\).
      }
      \begin{theorem}[единственность предела на метрическом пространстве]
        Если предел последовательности существует, то он единстенный.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Предположим, что может существовать два предела одной последовательности
        -- \(x_0\) и \(y_0\). Предположим, что \(x_0 \neq y_0\), что равносильно
        \(\rho(x_0, y_0) > 0\). Рассмотрим \(\varepsilon\) таким, что \(0 <
        \varepsilon < \frac{1}{2}\rho(x_0, y_0)\). Тогда начиная с некоторого
        \(N_1\), \(x_n \in U(x_0, \varepsilon)\), а с \(N_2\), \(x_n \in U(y_0,
        \varepsilon)\). Это означает, что начиная с \(n = \max\{N_1, N_2\}\),
        \{%[brace]
          \[
            x_n \in U(x_0, \varepsilon)
          \], \[
            x_n \in U(y_0, \varepsilon)
          \].
        \}
        Но это требует \(\rho(x_n, x_0) < \varepsilon\) и \(\rho(x_n, y_0) <
        \varepsilon\). Сложив неравентва для \(\rho\) и \(\varepsilon\), приходим
        к противоречию: \[
          \rho(x_0, y_0) \le \rho(x_n, x_0) + \rho(x_n, y_0) < 2\varepsilon <
          \rho(x_0, y_0)
        \].
      \end{proof}
      \definition[открытое множество]{
        \(U \in X\) называется открытым, если \[
          \forall{x \in U} ~ \exists{\varepsilon > 0} : U(x, \varepsilon) \subset
          U
        \]
      }
      \definition[замкнутое множество]{
        Множество называется замкнутым, если дополнение его открыто.
      }
      Свойства открытых и замкнутых множеств переносятся из первого семестра
      вместе с доказательствами.

    \subsection{Индуцированная топология. Хаусдорфовы пространства. Аксиомы
    отделимости.}
      Метрикой индуцируется топология. Обратное неверно -- не всякая топология
      индуцирована некоторой метрикой. Хотя довольно широки класс топологий
      состоит из метрических топологий.

  %    Кстати, если \(X\) -- топологическое пространство, то на нём откуда-то взялись
  %    открытые множества, удовлетворяющие условиям; тогда эти их условия даны по
  %    определению. Метрику же придётся доказывать.

      \definition[дискретная метрика]{
        Метрика \(\rho(x, y) = 1 - \delta_{xy}\) называется дискретной.
      }
      Дискретная метрика порождает дискретную топологию -- в ней все множества
      открыты.

      \definition[сходимость на топологическом пространстве]{
        На топологии говорят, что \(\lim_n x_n = x_0\), где \(x_0, x_n \in X\),
        если \[
          \forall{U : U\text{ -- открытое} \land x_0 \in U} ~ \exists{N \in
          \natnum} : \forall{n > N} ~ \pred x_n \in U
        \].
      }
      Сходимость на топологии равносильна сходимости на метрическом пространстве:
      открытое множество заменяется открытым шаром и наоборот.

      Можно доказать теорему единственности предела.

      Введём условие:
      \definition[хаусдорфово пространство]{
        Если \(x_1 \neq x_2\), то существуют открытые \(U_1, U_2\), такие, что
        \(x_1 \in U_1\) и \(x_2 \in U_2\), при этом \(U_1 \cap U_2 =
        \varnothing\). Не во всех пространствах оно выполняется. Тот класс, в
        которых оно выполняется, называется \defined{хаусдорфовыми пространствами}.
      }

      \begin{theorem}[единственность предела на хаусдорфовом пространстве]
        Если пространство хаусдорфово, то предел на нём единственный.
      \end{theorem}
      Если же пространство не хаусдорфово, то предел на нём не единственный, а
      значит и вводить его не имеет смысла. Метрическое пространство всегда
      является хаусдорфовым.

      Хаусдорфовость является, по сути, дополнительной аксиомой к аксиоматике
      метрических пространств, сужающей область рассомтрения к удобной нам. Это
      свойство также называют второй аксиомой отделимости.

    \subsection{Фундаментальность. Полнота метрического пространства.}
      \definition[фундаментальность на метрическом пространстве]{
        Пусть \(X\) -- метрическое пространство и на нём задана последовательность
        \(\{x_n\}_{n = 1}^{+\infty}\).  Она называется \defined{фундаментальной} или
        \defined[последовательность Коши]{последовательностью Коши}, если \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{m, k > N} ~ \rho(x_m,
          x_k) < \varepsilon
        \].
      }
      \definition[полное метрическое пространство]{
        Метрическое пространство называется \defined{полным}, если в нём любая
        последовательность Коши имеет предел.
      }
      Если метрическое пространство не является полным, то его можно
      \defined[пополнение метрического пространства]{пополнить}.
      Суть состоит в том, что всегда можо построить отображение,
      являющееся вложением (\(X \to Y\), причём элементы из \(Y\) отождествляются
      с элементами \(X\) с точки зрения сохранения расстояния; и если их
      отождествить, то \(Y \subset X\)), в котором \(Y\) будет полно, а \(X\) --
      в нём всюду плотно (\(\mathrm{Cl}\,X = Y\)).

      \definition[эквивалентность на метрическом пространстве]{
        Если \(\{x_n\}\) и \(\{y_n\}\) -- последовательность Коши, то будем
        говорить \[
          \{x_n\} \sim \{y_n\} \iff \lim_n \rho(x_n, y_n) = 0
        \].
      }
      Эквивалентность -- это отношение эквивалентности на множестве
      последовательностей Коши. Заметим, что оно разбивает его на классы
      эквивалентности, причём в каждом классе либо у обеих последовательностей
      одинаковый предел, либо у обеих последовательностей предела просто нет.
      Иначе одна из последовательностей имеет предел и эквивалентна второй, а
      вторая имеет другой предел или не имеет его вообще -- такого быть не может.

      Если у обеих последовательностей есть предел \(\alpha\), то этот класс
      эквивалентности соответствует точке \(\alpha\) в множестве \(X\). Если же
      предела у них нет, то такой класс эквивалентности ничему в \(X\) не
      соответствует.

      При этом \(X\) можно пополнить таким образом, что расстояние сохранится, а
      последовательности Коши, что не имели предела, будут его иметь (по
      определению полного пространства). Например, \(\ratnum\) -- неполное
      метрическое пространство, а \(\realnum\) -- полное.

    \subsection{Теорема Бэра о вложенных шарах}
      \begin{theorem}[теорема о вложенных шарах (Бэра)]
        Пусть \(X\) -- полное метрическое пространство. Если \[
          B(x_1, r_1) \supset B(x_2, r_2) \supset \dots \supset B(x_k, r_k)
        \], и \(\forall{k} ~ \{r_k\} \subset \realnum_+\), а также \(r_k \to 0\) (не
        обязательно монотонно\footnote{не начните на экзамене пользоваться
        несуществующей монотонностью!}), то \[
          \exists{x_0} : \in \bigcap_{n = 1}^{+\infty} B(x_n, r_n)
        \].
      \end{theorem}
      \begin{proof} 
        Докажем, что \(\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}\) -- последовательность Коши. Для
        этого рассмторим произвольные \(m, k \in \natnum\), такие, что \(m \ge
        k\). Автоматически \(B(x_m, r_m) \subset B(x_k, r_k)\), значит \(x_m \in
        B(x_k, r_k)\), а это, в свою очередь, значит, что \(\rho(x_m, x_k) \le
        r_{k}\).
        Теперь рассмотрим произвольный \(\varepsilon_0 > 0\). Очевидно, найдётся
        \(N_0\), такое, что \[
          \forall{n > N_0} ~ \pred r_{n} < \varepsilon_0
        \]. Переведя на наш язык, поличим \[
          \forall{m, k > N_0} ~ \rho(x_m, x_k) \le r_{\min\{m, k\}} <
          \varepsilon_0
        \]. Значит, \(\{x_n\}\) -- последовательность Коши. 

        Так как \(X\) -- полное метрическое пространство, \(\{x_n\}\) ещё и имеет
        предел. Обозначим его за \(x_0\). Докажем, что \(\forall{n} ~ x_0 \in
        B(x_n, r_n)\) от противного. Пусть нашлось \(n_0\), такое, что \(x_0
        \notin B(x_{n_0}, r_{n_0})\). Тогда автоматически \(\rho(x_0, x_{n_0}) >
        r_{n_0}\). Обозначим \(\delta = \rho(x_0, x_{n_0}) - r_{n_0}\). 

        Рассмотрим все \(n > n_0\). Из посылки теоремы, \(B(x_n, r_n) \subset
        B(x_{n_0}, r_{n_0})\). Это автоматически означает \(x_n \in B(x_{n_0},
        r_{n_0})\). Это, в свою очередь, означает, что \(\rho(x_n, x_{n_0}) \le
        r_{n_0}\).

        Но мы знаем, что \[
          r_{n_0} + \delta = \rho(x_0, x_{n_0}) \le \rho(x_0, x_n) + \rho(x_n, x_{n_0}) \le \rho(x_0,
          x_n) + r_{n_0}
        \]. Получаем, что \(\rho(x_0, x_n) \ge \delta\), а это прямо противоречит
        тому, что \(\lim_n x_n = x_0\).
      \end{proof}
      \note{
        Точка \(x_0\) единстственна.
      }
      \begin{proof}
        Пусть \(x', x'' \in B(x_n, r_n)\), причём \(\rho(x', x'') = d > 0\).
        Тогда \[
          \underbrace{\rho(x', x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{\rho(x'', x_n)}_{\le
          r_n} \ge \rho(x', x'') = d > 0
        \].
        Тогда \(2r_n \ge d\) и \(r_n \ge \frac{d}{2}\), что противоречит \(r_n
        \to 0\).
      \end{proof}
      Покажем, что без \(r_n \to 0\) теорема работать не будет.
      Рассмотрим в качестве примера \(X = \natnum\). Тогда 
      \{
        \[
          \rho(n, m) = 1 + \max\{\frac{1}{n}, \frac{1}{m}\}
        \], \[
          \rho(n, n) = 0
        \].
      \}
      Легко убедиться, что это корректная метрика. При этом \(X\) -- полное
      метрическое пространство. Это означает, что \(\{x_n\}\) --
      последовательность Коши: \[
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{m, k > N} ~ \pred
        \rho(x_m, x_k) < \varepsilon
      \]. Рассмотрим \(\varepsilon = \frac{1}{2}\). В нашей метрике если \(\rho
      \le \frac{1}{2}\), то автоматически \(\rho = 0\).

      Это значит, что \(x_m = x_k\), а значит, имеем предел.

      Рассмотрим \[
        B\left(n, \frac{1}{n}\right) = \{n, n + 1, \dots\}
      \]. Тогда \[
        B\left( n, 1 + \frac{1}{n} \right) \subset B\left( n + 1,
        \frac{1}{n + 1} \right)
      \]. В итоге имеем \[
        \bigcap_{n = 1}^{+\infty} B\left( n, 1 + \frac{1}{n} \right) = \varnothing
      \]. Этот контрпример называют \defined[пример Гильберта]{примером Гильберта}.

    \subsection{Сжимающее отображение}
      \definition[сжимающее отображение]{
        Пусть \(X\) -- метрическое пространство. Отображение \(T : X \to X\)
        называется \defined{сжимающим}, если \[
          \exists{q < 1} : \forall{x_1, x_2 \in X} ~ \pred \rho(Tx_1, Tx_2)
          \le q\rho(x_1, x_2)
        \].
      }
      \begin{theorem}[о сжимающем отображении (Банаха)]
        Если \(T\) -- сжимающее отображение на полном метрическом пространстве \(X\), то
        \[
          \exists!{x_0 \in X} : Tx_0 = x_0
        \].
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Рассмотрим некоторый \(x \in X\).
        Состроим следующую цепочку: \[
          x_1 = Tx, x_2 = Tx_1, x_3 = Tx_2, \dots
        \]. Докажем, что \(\{x_n\}\) -- последовательность Коши.
        
        \(\rho(x, x_1) \assignto a\). \[
          \rho(x_{n + 1}, x_n) = \rho(Tx_n, Tx_{n - 1}) \le q\rho(x_n, x_{n - 1})
          = q\rho(Tx_{n - 1}, Tx_{n - 2}) \le q^2\rho(x_{n - 1}, x_{n - 2}), \dots
          \le q^n\rho(x_1, x) = q^n a
        \]. Теперь применим неравенство треугольника и зажмём \(\rho(x_{n + k},
        x_n)\) полиномом: \[
          \rho(x_{n + k}, x_n) \le \rho(x_{n + k}, x_{n + k - 1})
          + \rho(x_{n + k - 1}, x_{n + k - 2}) + \dots + \rho(x_{n + 1}, x_n) \le
          q^{n + k - 1}a + q^{n + k - 2}a + \dots + q^n a = aq^n(1 + q + q^2 +
          \dots + q^{k - 1}) = aq^n\left( \frac{1-q^k}{1-q} \right) \le q^n
          \frac{a}{1-q}
        \].
        
        Также знаем, что \(q < 1\), а значит, \(q^n \to 0\): \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred q^n <
          \varepsilon\frac{1-q}{a}
        \], а это, в свою очередь, даёт \(\rho(x_m, x_n) < \varepsilon\). Это
        значит, что \(\{x_n\}\) -- фундаментальная последовательность. \(X\) --
        полное метрическое пространство, поэтому у неё есть предел \(x_0\).

        \[
          \rho(x_0, Tx_0) \le \rho(x_0, x_n) + \rho(x_n, Tx_0) = \rho(x_0, x_n) +
          \rho(Tx_{n - 1}, Tx_0) \le \rho(x_0, x_n) + q\rho(x_{n - 1}, x_0)
        \]. Рассмотрим произвольный \(\varepsilon > 0\). Так как \(\lim_n x_n = x_0\), \[
          \exists{N_0 \ge 2} : \forall{n > N_0} ~ \pred \rho(x_n, x_0) \le
          \varepsilon
        \]. Тогда \[
          \rho(x_0, Tx_0) \le \rho(x_0, x_n) + q\rho(x_{n - 1}, x_0) \le (1 + q)\varepsilon
        \]. В силу произвольности \(\varepsilon\), это означает, что \[
          \rho(x_0, Tx_0) = 0
        \].

        Докажем единственность: пусть \(x_1 = Tx_1\) и \(x_2 = Tx_2\). Тогда \[
          \rho(x_1, x_2) = \rho(Tx_1, Tx_2) \le q\rho(x_1, x_2)
        \]. Это противоречит определению сжимающего отображения, а именно, тому, что \(1 > q\).
      \end{proof}

    \subsection{Непрерывность}
      \definition[непрерывное отображение]{
        Пусть \(X\) и \(Y\) -- метрические пространства. Рассмотрим отображение
        \(f : X \to Y\). Будем называть его \defined{непрерывным} в точке \(x_0\), если для любой
        последовательности \(\{x_n\}\), сходящейся к точке \(x_0\), верно \[
          \lim_n f(x_n) = f(\lim_n x_n)
        \].
      }

      \begin{theorem}[неперывность на языке окрестностей]
        \(f : X \to Y\) непрерывно если и только если \[
          \forall{x_0 \in X} ~ \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{\delta > 0} :
          f(U(x_0, \delta)) \subset U(f(x_0), \varepsilon)
        \].
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{leftproof}
          Предполагая, что последовательность \(\{x_n\}\) имеет предел \(x_0\),
          докажем, что \(f(x_n) \to f(x_0)\). Для этого рассмотрим некоторый
          \(\varepsilon_0 > 0\). Для него \[
            \exists{\delta_0 > 0} : \exists{N_0} : \forall{n > N_0} ~ \pred \rho(x_n,
            x_0) < \delta_0 \implies x_0 \in U(x_0, \delta_0) \implies f(x_n) \in
            U(f(x_0), \varepsilon)
          \].
        \end{leftproof}
        \begin{rightproof}[\(f\) непрерывно]
          Допустим, что нашёлся \(x_0\), для которого \[
            \exists{\varepsilon > 0} : \forall{\delta > 0} ~ \pred \exists{x} : x \in
            U(x_0, \delta) \land f(x) \notin U(f(x_0), \varepsilon)
          \]. Рассмотрим \(\delta = \frac{1}{n}\). Тогда \(x_n \in U(x_0,
          \frac{1}{n})\), и при этом \(f(x) \notin U(f(x_0), \varepsilon)\).
          Утверждение \(x_n \in U(x_0, \frac{1}{n})\) обеспечивает нам \(\rho(x_0,
          x_n) < \frac{1}{n}\), а отсюда, с свою очередь, получается, что \(\lim_n
          x_n = x_0\).

          При этом, по допущению, \(\rho(f(x_0), f(x_n)) \ge \varepsilon\), а
          значит, \(\lim_n f(x_n) \neq f(x_0)\).

          Получаем, что при \(\lim_n x_n = x_0\), \(\lim_n f(x_n) \neq f(x_0)\),
          что прямо противоречит непрерывности \(f\).
        \end{rightproof}
      \end{proof}

      \begin{theorem}[непрерывность на языке открытых множеств]
        \(f : X \to Y\) непрерывно если и только если прообраз любого открытого
        множества открыт.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{rightproof}[\(f\) непрерывно]
          Рассмотрим произвольное открытое множество \(U \subset Y\), и точку
          \(x_0\) в его прообразе. Автоматически, \(f(x_0) \in U\), значит, \[
            \exists{\varepsilon_0} : U(f(x_0), \varepsilon_0) \subset U
          \], так как \(U\) -- открытое. Но тогда, в силу предыдущей теоремы,
          найдётся и \(\delta_0\), такое, что \[
            f\left(U(x_0, \delta_0)\right) \subset U(f(x_0), \varepsilon_0)
            \subset U
          \]. Из этого получим, что \[
            U(x_0, \delta_0) \subset f^{-1}(U)
          \], т.\,е., точка \(x_0\) является внутренней. В силу произвольности
          выбора точки \(x_0\), открытость прообраза доказана.
        \end{rightproof}
        \begin{leftproof}[прообраз любого открытого множества открыт]
          Рассмотрим некоторый \(x_0 \in X\), такой, что \(f(x_0) \in Y\).
          Рассмотрим \(\varepsilon > 0\). Окрестность \(U(f(x_0), \varepsilon)\)
          является открытым множеством, значит, в силу посылки, открыт и её
          прообраз \(f^{-1}(U(f(x_0), \varepsilon))\), куда, кстати, входит
          \(x_0\), причём с окрестностью. Таким образом, \[
            \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{\delta > 0} : \pred f(U(x_0,
            \delta)) \subset U(f(x_0), \varepsilon)
          \], что, в силу предыдущей теоремы, равносильно непрерывности \(f\).
        \end{leftproof}
      \end{proof}

    \subsection{Компакты на метрическом пространстве.}
      \definition[компактное метричесоке подпространство]{
        \(K \subset X\) называется \defined{компактным}, если у любого его покрытия
        открытыми пространствами можно выделить конечное подпокрытие.
      }
      \note{В пространстве \(\realnum^n\) компакт замкнут и ограничен, но в
      произвольном пространстве это неверно!}
      \definition[секвенциальный компакт]{
        Подпространство \(K\) метрического пространства \(X\) назвается
        \defined{секвенциальным компактом}, 
        если \[
          \forall{\{x_n\} \subset K} ~ \exists{\{x_{n_k}\} \subset \{x_n\}} : x_0
          = \lim_k x_{n_k}, x_0 \in K
        \], т.\,е., в любой последовательности можно выделить сходящуюся
        подпоследовательность.
      }

      \begin{theorem}[непрерывный образ компакта]
        Если на метрических пространствах \(X\) и \(Y\) задано непрерывное отображение \(f : X
        \to Y\), а \(K \subset X\) -- компакт (секвенциальный или топологический),
        то \(f(K)\) -- компакт такого же типа.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{enumerate}
          \item \(K\) -- топологический компакт.
            Обозначим за \(\{U_{\alpha}\} = \bigcup_{\alpha \in I} U_{\alpha}\) открытое покрытие \(f(K)\). Так
            как \(f\) непрерывно, то прообраз этого открытого покрытия является
            открытым множеством, а значит, является открытым покрытием \(K\): \[
              K \subset \bigcup_{\alpha \in I}f^{-1}(U_{\alpha})
            \]. Так как \(K\) -- топологический компакт, в этом открытом
            покрытии можно выделить конечное подпокрытие. Образ этого конечного
            подпокрытия будет, в свою очередь, являться конечным подпокрытием
            \(\{U_{\alpha}\}\), а значит, \(f(K)\) -- топологический компакт.
          \item \(K\) -- секвенциальный компакт.
            По произвольной последовательности \(\{y_n\}\), определйнной на
            \(f(K)\), построим на \(K\) последовательность \(\{x_n\}\): пусть
            \(x_n = f^{-1}(y_n)\). Элементы \(y_n\) берутся из \(f(K)\), значит,
            из прообразы обязательно существуют.
            
            По построению, \(y_n = f(x_n)\).

            Т.\,к. \(K\) -- секвенциальный компакт, в любой последовательности
            \(\{x_n\}\) можно выделить сходящуюся подпоследовательность
            \(\{x_{n_k}\}\). Пусть она сходится к \(x_0\). Тогда, в силу
            непрерывности, \(f(x_{n_k}) \to f(x_0)\). \(f(x_0)\) обозначим за
            \(y_0\). Тогда подпоследовательность \(\{y_{n_k}\}\) сходится к
            \(y_0\).
        \end{enumerate}
      \end{proof}

    \subsection{Ограниченность компакта}
      \definition[ограниченное метрическое пространство]{
        Пусть \(A \subset X\), где \(X\) -- метрическое пространство. Будем
        говорить, что \(A\) \defined{ограниченно}, если \[
          \exists{x_0 \in A, r_0} : A \subset U(x_0, r_0)
        \].
      }
      \begin{lemma}
        Если \(A\) и \(B\) -- ограниченные, то \(A \cup B\) тоже ограниченное.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        Пусть
        \{
          \[
            A \subset B(x_A, r_A)
          \], \[
            B \subset B(x_B, r_B)
          \].
        \}
        Покажем, что \[
          (A \cup B) \subset B(x_A, r_A + r_B + \rho(x_A, x_B))
        \]. Включение \(A\) очевидно. Рассмотрим произвольную точку \(x_0 \in
        B\). Автоматически \(\rho(x_0, x_B) \le r_B\). \[
          \rho(a_0, x_A) \le \rho(x_0, x_B) + \rho(x_A, x_B) \le r_B + \rho(x_A,
          x_B) \le r_A + r_B + \rho(x_A, x_B)
        \].
      \end{proof}
      \begin{theorem}[теорема об ограниченности компакта]
        Любой компакт (топологический или секвенциальный) -- ограниченное
        множество.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Будем рассматривать метрическое пространство \(X\) и доказывать, что
        \(K \subset X\) ограничено.
        \begin{itemize}
          \item
            \(K\) -- секвенциальный компакт. Докажем от противного. Пусть \(x_1
            \in K\) и \(K\) неограниченно. Тогда сразу \(K \setminus B(x_1, 1)
            \neq \varnothing\). Возьмём \(x_2 \in K \setminus B(x_1, 1)\).
            Оказвыается, \(K \setminus \left( B(x_1, 1) \cup B(x_2, 1) \right)
            \neq \varnothing\). Так можно повторять вплоть до \(n\). Получим
            последовательность, растояние между любыми двумя элементами которой
            больше единицы. Это свойство наследуется любой её
            подпоследовательностью. Значит, любая её подпоследовательность
            обязательно не фундаментальна. Значит, ни одна подпоследовательность
            не имеет предела.\footnote{Пользуемся не теоремой о том, что на полном
            метрическом пространстве фундаментальная последовательность имеет
            предел, а следующей теоремой (верна везде, где есть фундаментальность):
            ,,Если последовательность имеет предел, то она фундаментальна''.
            Доказать её легко.}. Получили противоречие.
          \item
            \(K\) -- топологический компакт. Пусть \(x_0 \in X\). Рассмотрим
            \(U(x_0, n)\), где \(n \in \natnum\). \[
              \bigcup_{n \in \natnum} U(x_0, n) = X \supset K
            \]. При этом \[
              U(x_0, 1) \subset U(x_0, 2) \subset \cdots \subset K \subset U(x_0,
              n_0) \subset B(x_0, n_0)
            \]. Тогда \(K\) ограниченное по определению.
        \end{itemize}
      \end{proof}

    \subsection{Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность.}
      \begin{theorem}[первая теорема Вейерштрасса в общем виде]
        Пусть \(f : X \to \realnum\), где \(X\) -- метрическое пространство,
        непрерывна. Пусть \(K \subset X\) -- компакт. Тогда \(f\) ограниченна на 
        \(K\).
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        По доказанной теореме, образ компакта -- компакт. Согласно другой
        теореме, компакт всегда ограничен.
      \end{proof}
      \begin{theorem}[вторая теорема Вейерштрасса в общем виде]
        Пусть \(f : X \to \realnum\), где \(X\) -- метрическое пространство,
        непрерывна. Пусть \(K \subset X\) -- компакт. Тогда \(f\) достигает на
        \(K\) максимального и минимального значения.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        По доказанной теореме, \(f(K) \subset \realnum\) -- компакт.
        Компакт, являющийся подмножеством \(\realnum^n\) всегда замкнутый и
        ограниченный. Но тогда на нём есть максимум и минимум.
      \end{proof}

      \definition[равномерная непрерывность на метрическом пространстве]{
        Пусть \(X\) и \(Y\) -- метрические пространства. Пусть \(f : X \to Y\), и
        \(A \subset X\). Будем говорить, что \(f\) \defined{равномерно непрерывна} на
        \(A\), если \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{\delta > 0} : \forall{x_1, x_2 \in A}
          ~\pred \rho(x_1, x_2) < \delta \implies \rho(f(x_1), f(x_2)) <
          \varepsilon
        \].
      }
      \begin{theorem}[теорема Кантора о равномерной непрерывности в общем виде]
        Пусть \(f : X \to Y\), где \(X\) и \(Y\) -- метрические пространства. При
        этом \(f\) непрерывна, \(K \subset X\) -- секвенциальный компакт. Тогда
        \(f\)  равномерно непрерывна на \(K\).
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Докажем от противного. Предположим, что нашёлся такой \(\varepsilon_0\),
        что \[
          \forall{\delta > 0} ~ \exists{x^{(1)}, x^{(2)} \in A} : \pred \left\{
            \begin{array}{r c l}
              \rho(x^{(1)}, x^{(2)}) &<& \delta \\
              \rho(f(x^{(1)}), f(x^{(2)})) &\ge& \varepsilon_0 \\
            \end{array}
          \right.
        \].

        Рассмотрим \(\delta = \frac{1}{n}\). Нашедшиеся таким образом для
        каждого \(n\) \(x^{(1)}\) и
        \(x^{(2)}\) обозначим за \(x^{(1)}_n\) и \(x^{(2)}_n\) соответственно.
        Так, имеем
        \{
          \[
            \rho(x^{(1)}_n, x^{(2)}_n) < \frac{1}{n}
          \], \[
            \rho(f(x^{(1)}_n), f(x^{(2)}_n)) \ge \varepsilon_0
          \].
        \}

        Так как \(x^{(1)}_n\) и \(x^{(2)}_n\) найдутся для каждого \(n\), можем
        состроить из них последовательности \(\{x^{(1)}_n\}\) и \(\{x^{(2)}_n\}\).
        Согласно посылке теоремы, они целиком лежат в \(K\), являющемся,
        согласно посылке же, секвенциальным компактом. Это значит, что в них
        можно выделить сходящиеся подпоследовательности \(\{x^{(1)}_{n_k}\}\) и
        \(\{x^{(2)}_{n_k}\}\).
        
        Пусть первая из них сходится к \(x_0\). Тогда \[
          0 \le \rho(x^{(2)}_{n_k}, x_0) \le \rho(x^{(1)}_{n_k}, x^{(2)}_{n_k})
          + \rho(x^{(1)}_{n_k}, x_0) \le \frac{1}{n_k} + \rho(x^{(1)}_{n_k},
          x_0)
        \], причём, как видно, правая часть неравенства сходится к нулю, значит,
        \(\rho(x^{(2)}_{n_k}, x_0)\) тоже сходится к нулю, то есть,
        \(\{x^{(2)}_{n_k}\}\) тоже сходится к \(x_0\).

        Вследствие непрерывности \(f\), имеем также
        \{
          \[
            f(x^{(1)}_{n_k}) \to f(x_0)
          \], \[
            f(x^{(2)}_{n_k}) \to f(x_0)
          \].
        \}
        Воспользовавшись неравенством треугольника, получим, что \[
          \rho(f(x^{(1)}_{n_k}), f(x^{(2)}_{n_k})) \le \rho(f(x^{(1)}_{n_k}),
          f(x_0)) + \rho(f(x^{(2)}_{n_k}), f(x_0))
        \]. Правая часть стремится к нулю, значит, её можно сделать сколь угодно
        малой. Это противоречит нашему предположению о том, что для любого
        \(\delta > 0\) \[
            \rho(f(x^{(1)}), f(x^{(2)})) \ge \varepsilon_0
        \].
      \end{proof}
  \section{Банаховы пространства}
    \definition[норма]{
      \(n : X \to \realnum\) называется \defined{нормой}, если
      \{
        \[
          n(x) = 0 \iff x = 0
        \], \[
          \forall{x \in X} ~ n(x) \ge 0
        \], \[
          \forall{x \in X} ~ \forall{\alpha \in \realnum} ~ n(\alpha x) =
          \abs{\alpha} n(x)
        \], \[
          \forall{x_1, x_2 \in X} ~ n(x_1 + x_2) \le n(x_1) + n(x_2)
        \].
      \}
      Обозначать будем \[
        n(x) \equiv \norm{x}
      \].
    }
    \definition[нормированное пространство]{
      Линейное пространство, на котором задана норма, называется
      \defined{нормированным}. 
    }
    Легко заметить, что нормированное линейное пространство легко превращается в
    метрическое следующим выражением: \[
      \rho(x_1, x_2) \equiv \norm{x_1 - x_2}
    \]. Все четыре свойства метрического пространства легко проверяются.
    \definition[банахово пространство]{
      Если нормированное пространство полно (по метрике, порождённой нормой), то оно называется \defined{банаховым}.
    }
    \subsection{Скалярное произведение}
      \definition[скалярное произведение]{
        Если \(X\) -- линейное пространство, то \defined{скалярным произведением}
        на нём называется форма \( ( x, y) \), обладающая следующими свойствами: 
        \{
          \[
            (x, y) = (y, x)
          \], \[
            (x, x) \ge 0
          \], \[
            (x, x) = 0 \iff x = 0
          \], \[
            (\lambda x, y) = \lambda(x, y) = (x, \lambda y)
          \], \[
            (x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)
          \].
       \}
      }
      \definition[гильбертово пространство]{
        Полное метрическое пространство, на котором определено скалярное произведение,
        называется \defined{гильбертовым}.\footnote{Иногда говорят, что евклидово --
        конечномерно, гильбертово -- нет.}
      }
      Определив естественным образом норму на гильбертовых пространствах, мы
      покажем, что они являются также и банаховыми.
      Введём норму \[
        \norm{x} \equiv \sqrt{(x, x)}
      \]. Она отвечает свойству однородности: \[
        \norm{\lambda x} = \sqrt{(\lambda x, \lambda x)} = \sqrt{\lambda^2(x,
        x)} = \lambda\sqrt{(x, x)} = \lambda\norm{x}
      \], и неравенству треугольника: \[
        \sqrt{(x_1 + x_2), (x_1, x_2)} \le \sqrt{(x_1, x_1)} + \sqrt{(x_2, x_2)}
      \]. Его получаем, взяв корень из неравенства
      Коши-Буняковского:\footnote{Оно равносильно неравенству треугольника для
      нормы. Что-то из них можно считать аксиомой, а что-то доказывать.} \[
        (x, x)(y, y) \ge (x, y)(y, x) = (x, y)^2
      \].
      Первые два свойства нормы очевидным образом следуют из соответствующих
      свойств скалярного произведения.
      \begin{theorem}[теорема фон Неймана]
        Если \[
          \forall{x, y \in X} ~ \pred \norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 =
            2(\norm{x}^2 + \norm{y}^2)
        \], то пространство гильбертово.
      \end{theorem}

      Итак, банахово пространство:
      \begin{itemize}
        \item линейное пространство над полем скаляров \(\realnum\),
        \item нормированное,
        \item полное.
      \end{itemize}

  \section{Линейные операторы на банаховых пространствах}
    \subsection{Линейные операторы и непрерывность}
      \definition[линейный оператор]{
        \defined{Линейным оператором} будем называть отображение \(T : X \to Y\)
        (где \(X\) и \(Y\) -- банаховы пространства), удовлетворяющее свойству
        линейности, то есть, 
        \begin{itemize}
          \item однородное -- \(T(\alpha x) = \alpha Tx\), где \(\alpha \in
          \realnum\), а \(x \in X\)
          \item аддитивное -- \(T(x_1 + x_2) = Tx_1 + Tx_2\), где \(x_1, x_2 \in
          X\).
        \end{itemize}
      }

      Ставится следующий вопрос: когда линейный оператор непрерывен?
      Непрерывность на метрическом, а значит и на банаховом пространстве
      определена по Гейне: \[
        \lim_n Tx_n = T(\lim_n x_n)
      \], или же, что то же самое, \(x_n \to x_0 \implies Tx_n \to Tx_0\). Это
      необходимое условие. А какое условие можно считать достаточным?

      По определению метрических, а значит и банаховых пространств, \(x_n \to x_0\) равносильно
      \(\norm{x_n - x_0} \to 0\). Рассмотрим \(Tx_n - Tx_0\). Непрерывность
      \(T\) равносильна \[
        \norm{Tx_n - Tx_0} = \norm{T(x_n - x_0)} \to 0
      \]. Но оказывается, что непрерывности в нуле достаточно.
      \begin{lemma}[непрерывность линейного оператора в нуле]
        Необходимым и достаточным условием непрерывности линейного оператора
        является его непрерывность в нуле.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        \begin{necessityproof}
          Необходимость непрерывности в нуле очевидна.
        \end{necessityproof}
        \begin{sufficiencyproof}
          Для этого введём в рассмотрение
          последовательность \(y_n = x_n - x_0\). Так как \(x_n \to x_0\), \(y_n
          \to 0\). В нуле есть непрерывность, а значит, \[
            \lim_n Ty_n = T(\lim_n y_n) = T(0) = 0
          \]. Покажем, что \(T(0) \equiv 0\): \[
            T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0)
          \].

          Итак, \(Ty_n = T(x_n - x_0) \to 0\). В силу линейности, \(T(x_n - x_0)
          = Tx_n - Tx_0 \to 0\), а значит, \(Tx_n \to Tx_0\).
        \end{sufficiencyproof}
      \end{proof}

      Рассмотрим конечномерное банахово пространство \(X\). Тогда, по теореме из
      линейной алгебры, в нём обязательно есть базис \(\{e_1 e_2 \cdots e_n\}\),
      где \(n\) -- размерность пространства. Будем сразу считать его
      нормированным (т.\,е., \(\norm{e_i} = 1\), иначе, по теореме линейной
      алгебры, в него всегда можно перейти, разделив каждый вектор на его норму).
      По теореме из линейной алгебры, \[
        x \equiv \sum_{i = 1}^{n} x_i e_i
      \], причём \(x_i \in \realnum\).

      \begin{lemma}[ограниченность координатных последовательностей внутри шара]
        Пусть в конечномерном банаховом пространстве выделен
        шар \(B(0, R)\) с центром в нуле. Если последовательность
        полностью лежит в этом шаре, то её координатные последовательности в
        нормированном базисе ограничены.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        Известно, что \[
          \norm{x_m} = \norm{\sum_{i = 1}^n x_{mi}e_i} \le R
        \]. Предположим, что некоторые координатные последовательности не
        ограниченны. Это равносильно тому, что в них можно выделить бесконечно большие
        подпоследовательности\footnote{Кому это не очевидно, см. первый
        семестр.}.

        Выберем их так, чтобы подпоследовательность для координаты \(p\)
        превосходила по модулю все остальные. Это всегда можно сделать:
        требование нарушается либо на конечном количестве элементов -- тогда их
        можно отбросить, либо последовательности постоянно ,,перепрыгивают''
        друг друга -- это значит, что существует несколько
        подпоследовательностей, для которых требование выполняется, и можно
        поочерёдно провести доказательство для них.
        Все эти действия не уменьшают общности, т.\,к. цель --
        доказать отсутствие таких подпоследовательностей вообще.
        
        Итак, исследуем последовательности, для которых верно \[
          \abs{x_{mp}} \ge \abs{x_{mi}}
        \]. Это даёт нам \[
          \abs{\frac{x_{mi}}{x_{mp}}} \le 1
        \]. Каждая последовательность \(\abs{\frac{x_{mi}}{x_{mp}}}\) определена на
        \(\realnum\) и ограничена, имеем право воспользоваться теоремой Вейерштрасса
        о частичных пределах ограниченной последовательности\footnote{см. первый семестр},
        согласно которой, в любой ограниченной последовательности,
        определённой на \(\realnum\), можно выделить сходящуюся
        подпоследовательность. Пусть для каждой координаты такая
        последовательность сходится к некоторому пределу
        \(\gamma_i\), причём \(\gamma_i \ge 0\).

        Вся последовательность, а значит и любая её подпоследовательность, лежит
        в шаре, а значит \[
          \norm{x_m} = \norm{\sum_{i = 1}^n x_{mi}e_i} = \abs{x_{mp}}\norm{e_p +
          \sum_{i \neq p} \frac{x_{mi}}{x_{mp}}e_i} \le R
        \]. Отсюда, разделив неравенство на \(\abs{x_{mp}}\), получим \[
          \norm{e_p + \sum_{i \neq p} \frac{x_{mi}}{x_{mp}}e_i} \le
          \frac{R}{\abs{x_{mp}}}
        \]. По предположению, \(\abs{x_{mp}} \to +\infty\), а значит, \[
          \norm{e_p + \sum_{i \neq p} \frac{x_{mi}}{x_{mp}}e_i} \le
          \frac{R}{\abs{x_{mp}}} \to 0
        \].

        Но, с другой стороны, в последовательности \(e_p + \sum_{i \neq p}
        \frac{x_{mi}}{x_{mp}}e_i\) есть подпоследовательность, для которой верно
        \[
          e_p + \sum_{i \neq p} \frac{x_{mi}}{x_{mp}}e_i \to 
          e_p + \sum_{i \neq p} \gamma_i e_i = \delta
        \].

        Частичный предел \(\delta\) равен пределу всей последовательности, то
        есть, является нулевым вектором. Но \(\{e_1 e_2 \cdots e_p \cdots
        e_n\}\) -- базис, а значит, как следует из линейной алгебры, это
        независимый набор векторов, и любая его нулевая комбинация
        тривиальна. Но перед \(e_p\) стоит коэффициент \(1\), а \(1 \neq 0\).
      \end{proof}
      \note{Допустим, что внутри единичного шара все координатные
        последовательности ограничены некоторым числом \(K\): \[
          x_m \in B(0, 1) \implies \abs{x_{mi}} \le K
        \]. Тогда внутри шара радиуса \(\frac{1}{\alpha}\) они будут ограничены
        числом \(\frac{K}{\alpha}\). Действительно, \[
          x_m \in B\left( 0, \frac{1}{\alpha} \right) \iff
          \norm{x_m} \le \frac{1}{\alpha} \iff
          \norm{\alpha x_m} \le 1 \iff
          \alpha x_m \in B(0, 1)
        \], при этом \(\alpha x_m = \sum \alpha x_{mi} e_i\), а внутри единичного
        шара, как известно, \(\alpha\abs{x_{mi}} < K\), значит, \(\abs{x_{mi}} <
        \frac{K}{\alpha}\).
      }

      \begin{lemma}[компактность шара с центром в нуле]
        В конечномерном банаховом пространстве единичный шар \(B(0, 1)\)
        с центром в нуле -- секвенциальный компакт.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        Рассмотрим произвольную последовательность \(\{x_m\} \subset B(0,
        1)\). Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся
        подпоследовательность. Для этого разложим её по нормальному базису: \[
          x_m = \sum_{i = 1}^n x_{mi}e_i
        \]. По лемме, все координатные последовательности ограничены, тогда
        в каждой из последовательностей \(\{x_{mi}\}\)
        можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
        (по теореме Вейерштрасса о частичных пределах ограниченной
        последовательности). Так, пусть
        сходится подпоследовательность \(\{x_{m_{k}1}\}\),
        \(\{x_{m_{k}2}\}\) и так далее. Пусть при этом \[
          \lim_k x_{m_ki} = x_{0i}
        \]. За \(x_0\) обозначим вектор \[
          x_0 = \sum_{i = 1}^n x_{0i}e_i
        \]. Получили, что \(x_m \to x_0\).
      \end{proof}
      \note{
        Докажем, что вектор \(x_0\) тоже попал в шар, то есть, что
        \(\norm{x_0} \le 1\): \[
          \norm{x_0} = \norm{x_0 - x_m + x_m} \le \norm{x_0 - x_m} +
          \norm{x_m} \le \varepsilon + 1
        \]. В силу произвольности и положительности \(\varepsilon\), получаем, что
        \(\norm{x_0} \le 1\). Так как предел любой последовательности
        попадает в шар, шар замкнут.
      }

      \begin{theorem}[равносильность сходимости и координатной сходимости]
        Пусть банахово пространство \(X\) конечномерно, и в нём выделен
        нормированный базис \(\{e_1e_2\cdots e_n\}\).

        Если \(x_m \to x_0\), то \(x_{mi} \to x_{0i}\), и наоборот.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{rightproof}[\(x_m\) сходится]
          Запишем этот факт: \[
            \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{m > N} ~ \pred x_m
            \in U(0, \varepsilon) \subset B(0, \varepsilon)
          \]. Согласно лемме об ограниченности координатных последовательностей,
          внутри единичного шара они ограниченны:
          \(\abs{x_{mi}} < K\). Тогда, согласно замечанию к лемме, внутри шара с
          радиусом \(\varepsilon\) для них есть оценка: \(\abs{x_{mi}} <
          K\varepsilon\).
        \end{rightproof}
        \begin{leftproof}[сходятся координатные последовательности]
          Разложим по базису последовательность \(x_m - x_0\): \[
            x_m - x_0 = \sum_{i = 1}^n \left( x_{mi} - x_{0i} \right)e_i
          \]. Оценим норму: \[
            \norm{x_m - x_0} = \norm{\sum_{i = 1}^n (x_{mi} - x_{0i}} \le
            \sum_{i = 0}^n \norm{(x_{mi} - x_{0i})e_i} = 
            \sum_{i = 0}^n \abs{(x_{mi} - x_{0i})}\norm{e_i} = 
            \sum_{i = 0}^n \abs{(x_{mi} - x_{0i})}
          \]. Если каждое слагаемое стремится к нулю, то к нулю стремится и вся
          сумма.
        \end{leftproof}
      \end{proof}

      \begin{theorem}[непрерывность линейного оператора в конечномерном
      пространстве]
        В конечномерном банаховом пространстве любой линейный оператор
        непрерывен.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Согласно лемме, для непрерывности линейного оператора на всём
        пространстве, достаточно его непрерывности в нуле. Докажем, что любой
        линейный оператор на конечномерном пространстве непрерывен в нуле.

        Для этого выберем два базиса: \(\{e_1 e_2 \cdots
        e_n\}\) -- в \(X\) и \(\{\tilde{e}_1 \tilde{e}_2 \cdots \tilde{e}_n\}\)
        -- в \(Y\), причём \(\tilde{e}_i \equiv Te_i\). Тогда \[
          T\left( \sum_{i = 1}^n x_ie_i \right) = \sum_{i = 1}^n x_i\tilde{e}_i
        \].

        Согласно теореме о равносильности сходимости и координатной сходимости,
        \(x_m \to 0\) влечёт \(x_{mi} \to 0\). Тогда \[
          \norm{Tx_m} = \norm{\sum_{i = 1}^n x_{mi}\tilde{e}_i} \le
          \sum_{i = 1}^n \abs{x_{mi}} \norm{\tilde{e}_i} \to 0
        \], так как \(\abs{x_{mi}} \to 0\), а \(\norm{\tilde{e}_i}\) --
        константа.
      \end{proof}

    \subsection{Норма и изоморфизм}
      Так как любой линейный оператор на конечномерном банаховом пространстве
      непрерывен, а единичный шар \(B(0, 1)\) --
      секвенциальный компакт, то и образ этого шара -- секвенциальный
      компакт, а значит, является ограниченным множеством. Это позволяет ввести
      следующее
      \definition[норма оператора]{
        \defined{Нормой оператора} называется \[
          \norm{T} \equiv \sup_{x \in B(0, 1)} \norm{Tx}
        \].
      }
      Так как пространство линейных операторов само по себе линейно, то если
      добавить к нему эту норму (это можно сделать только для конечномерных
      пространств), оно станет нормированным линейным пространством. На самом
      деле, оно ещё и банахово, но это мы уже доказывать не будем.

      Конечность нормы оператора иногда также называют \defined[ограниченность
      оператора]{ограниченностью} этого оператора.

      Далее рассматриваем конечномерные пространства \(X\) и \(Y\) одной
      размерности.

      \note{Линейный оператор является биекцией если и только если его ядро
        тривиально (то есть, в ноль он обращает только нулевой вектор).
      }
      \begin{proof}
        \begin{necessityproof}
          Если ядро оператора нетривиально, то он не является инъекцией, а значит, не
          может быть и биекцией.
        \end{necessityproof}
        \begin{sufficiencyproof}
          Инъективность: \[
            Tx = Ty \iff Tx - Ty = 0 \iff T(x - y) = 0 \overset{\ast}{\iff}
            x - y = 0 \iff x = y
          \]. Без требования тривиальности ядра переход, помеченный снежинкой,
          верен только влево, а используется вправо.

          Теперь докажем сюръективность. Как известно из линейной алгебры, если
          линейный оператор действует из конечномерного пространства на
          пространство той же размерности, то он переводит базис в базис.
          Выберем базис \(\{a_1 a_2 \cdots a_n\}\) в \(X\); тогда \(\{Ta_1 Ta_2
          \cdots Ta_n\}\) -- базис в \(y\). Любой элемент пространства \(Y\)
          можно разложить по этому базису: \[
            y = \beta_1 b_1 + \beta_2 b_2 + \cdots + \beta_n b_n
              = \beta_1 Ta_1 + \beta_2 Ta_2 + \cdots + \beta_n Ta_n
              = T(\beta_1 a_1) + T(\beta_2 a_2) + \cdots + T(\beta_n a_n)
              = T(\beta_1 a_1 + \beta_2 a_2 + \cdots + \beta_n a_n)
          \]. Так, у любого элемента из \(Y\) есть прообраз.
        \end{sufficiencyproof}
      \end{proof}

      \definition[изометрия]{
        Линейный оператор, сохраняющий расстояния, называется
        \defined{изометрией}: \[
          \forall{x \in X} ~  \pred \norm{Tx} = \norm{x}
        \]. Пространства, которые можно отобразить друг в
        друга, сохранив норму, называются \defined[изометричные
        пространства]{изометричными}.
      }

      \definition[изоморфизм]{
        Линейный оператор называется изоморфизмом, если \[
          \exists{C_1, C_2} : \forall{x \in X} ~  \pred C_2\norm{x} \le
          \norm{Tx} \le C_1 \norm{x}
        \].
      }

      \begin{theorem}[изоморфизм и биекция]
        Любой биективный линейный оператор -- изоморфизм.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \[
          \frac{x}{\norm{x}} \in B(0, 1) \implies \norm{T\left(
          \frac{x}{\norm{x}} \right)} \le \sup_{x \in B(0, 1)}\norm{Tx} \equiv
          \norm{T}
        \]. Преобразуем: \[
          \norm{T\left( \frac{x}{\norm{x}} \right)} = \norm{\frac{1}{\norm{x}}Tx}
          = \frac{1}{\norm{x}}\norm{Tx} \le \norm{T}
        \]. Таким образом, \[
          \norm{Tx} \le \norm{T}\norm{x}
        \]. Выбрав \(C_1 = \norm{T}\), получим левую часть двойного неравенства
        в определении.

        Образ шара ограничен, а значит, помимо супремума у него есть и инфимум.
        Проделав те же манипуляции и обозначив \(C_2 = \inf_{x \in B(0,
        1)}\norm{Tx}\), получим правую часть.
      \end{proof}

      Если линейный оператор \(T : X \to Y\) -- биекция, то к нему можно построить
      обратный оператор \(T^{-1} : Y \to X\). Он тоже будет линейным, тоже
      непрерывным, и тоже биекцией. Значит, он тоже будет изоморфизмом.

      \note{Правую часть двойного неравенства можно доказать и по-другому.
        \(T^{-1}\) -- тоже линейный биективный оператор, значит, для него верно
        \(\norm{T^{-1}y} \le \norm{T^{-1}}\norm{y}\). Подставив \(y = Tx\), получим
        \(\norm{x} \le \norm{T^{-1}}\norm{Tx}\), или, иначе, \[
          \frac{\norm{x}}{\norm{T^{-1}}} \le \norm{Tx}
        \]. То есть, за \(C_2\) можно обозначить и \(\frac{1}{\norm{T^{-1}}}\).
      }
      
      Можно сформулировать доказанную выше теорему по-другому.
      \begin{theorem}[изоморфность конечномерных банаховых пространств]
        Любые два конечномерных банаховых пространства изоморфны, если их
        размерности равны.
      \end{theorem}

      \note{Любой линейный изоморфизм является также и метрическим
      изоморфизмом.}

      Хочется, чтобы норма композиции оператора и обратного к нему была как
      можно меньше. На самом деле, она никогда не меньше единицы, причём равна
      ей только в случае изометрии.
      \begin{proof}
        \(T^{-1}\) -- линейный биективный оператор, значит, для него верно
        \(\norm{T^{-1}y} \le \norm{T^{-1}}\norm{y}\). Подставив \(y = Tx\),
        получим \[
          \norm{x} \le \norm{T^{-1}}\norm{T}\norm{x}
        \], то есть, \[ 
          1 \le \norm{T^{-1}}\norm{T}
        \].

        В случае изометрии, \(\norm{Tx} \equiv \norm{x}\), а значит, \[
          \norm{T} \equiv \sup_{x \in B(0, 1)} \norm{Tx} \equiv \sup_{x \in B(0,
          1)} \norm{x} = 1
        \]. Точно так же, \(\norm{T^{-1}} = 1\).
      \end{proof}

      \definition[расстояние Банаха-Мазура]{
        Расстояние между двумя пространствами, определённое как \[
          d(X, Y) = \int_T \ln \norm{T} \norm{T^{-1}}
        \] называется \defined{расстоянием Банаха-Мазура}.
      }
      
      Будем далее обозначать пространство всех линейных операторов, действующих
      из \(X\) в \(Y\) как \(L(X, Y)\). Его размерность равна произведению
      размерностей пространств \(X\) и \(Y\).

      \definition[сепарабельное пространство Банаха]{
        Банахово пространство называют \defined{сепарабельным}, если в нём есть
        счётное всюду плотное множество.
      }

      Все сепарабельные банаховы пространства линейно изоморфны.

    \subsection{Линейный функционал. Сопряжённое пространство. Топология.}
      \begin{theorem}[полнота конечномерного линейного пространства]
        Любое конечномерное линейное пространство является полным.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        По определению полного пространства, любая фундаментальная
        последовательность в нём сходится. Если последовательность \(\{x_m\}\)
        фундаментальна, то фундаментальны и последовательности \(\{x_{mi}\}\)
        (оценка вводится по следствию из леммы об ограниченности координатной
        последовательности на шаре).
        Так как они определены уже на \(\realnum\), они автоматически сходятся,
        но тогда сходится и \(\{x_m\}\).
      \end{proof} 
      \begin{consequences}
        \item Пространство линейных операторов полное.
      \end{consequences}

      \definition[линейный функционал]{
        Линейный оператор, действующий из \(X\) в поле скаляров называется
        \defined{линейным функционалом}.
      }
      Линейный функционал естественным образом наследует все свойства линейных
      операторов, в том числе и норму: \[
        \norm{f} \equiv \sup_{x \in B(0, 1)}\abs{f(x)}
      \]. Пространство линейных функционалов называют \defined{сопряжённым
      пространством} к пространству \(X\) и обозначают \(X^*\). Размерности этих
      пространств равны по теореме из линейной алгебры.

      \note{Норма функционала зависит от шара \(B \subset X\), то есть, от
      устройства самого пространства \(X\).}

      Линейные функционалы наследуют от операторов также и непрерывность, а
      значит, прообраз любого открытого множества будет открыт.

      Рассмотрим следующее семейство множеств: \[
        \left\{ f^{-1}(U) | f \in x^*, U \subset \realnum \text{ -- открытое} \right\}
      \]. Семейство открытых множеств существует и в \(X\), так как оно
      банахово. Возникает вопрос: как соотносятся эти семейства? Оказывается,
      топология на \(X\) шире, то есть, любое из этих множеств является открытым
      множеством в \(X\), причём топологии на них совпадают.

      \begin{theorem}
        Изоморфизм между двумя банаховыми пространствами существует если и
        только если их топологии совпадают.
      \end{theorem}
      \note{Топология на банаховом пространстве отличается от обычной топологии
      лишь тем, что на ней все линейные функции непрерывны.}

      С бесконечномерными банаховыми пространствами всё обстоит совсем
      по-другому. Они не все попарно изоморфны и топологии их различаются. Для
      них определяют т.\,н. \defined[слабая топология]{слабую топологию}.

      На сопряжённом пространстве можно определить линейные функционалы
      следующим образом: \[
        x(f) \equiv f(x)
      \]. Получится пространство линейных функционалов над линейными
      функционалами. Его называют \defined[второе сопряжённое
      пространство]{вторым сопряжённым пространством}. Из линейной алгебры
      известно, что в случае конечномерного пространства \(X\), \[
        X^{**} = X
      \]. Вообще говоря, \(X \subset X^{**}\). Если \(X = X^{**}\), то \(X\)
      называют \defined[рефлексивное пространство]{рефлексивным}.
  \section{Теорема Больцано-Коши}
      В этом параграфе будем рассматривать метрическое пространство \(X\) с
      заданной на нём метрикой \(\rho\).
      \definition[путь]{
        Пусть \(x_1, x_2 \in X\). Непрерывное отображение
        \(\varphi : [0, 1] \to X\), для которого верно
        \{
          \[
            \varphi(0) = x_1
          \], \[
            \varphi(1) = x_2
          \],
        \}
        называется \defined{путём} из \(x_1\) в \(x_2\).
      }

      \definition[линейно связное множество]{
        Множество \(A \subset X\) называется \defined{линейно связным}, если между
        любыми его двумя элементами существует путь, целиком лежащий в \(A\).
      }

      \begin{theorem}[теорема Больцано-Коши для линейно связного множества]
        Пусть задано непрерывное отображение \(f : X \to \realnum\). Если на
        линейно связном множестве \(A \subset X\) нашлись такие элементы
        \(a_1\) и \(a_2\), что \(f(a_1) < 0\), а \(f(a_2) > 0\), то найдётся и
        такой \(a_0 \in A\), что \(f(a_0) = 0\).
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Так как множество \(A\) линейно связно, между любыми его элементами
        \(a_1\) и \(a_2\) есть путь \(\varphi\), целиком лежащий в \(A\). Он
        непрерывен, и \(\varphi(0) = a_1\), а \(\varphi(1) = a_2\).

        Рассмотрим композицию \(g = f \circ \varphi\). Оба отображения
        непрерывны, значит и \(g\) непрерывна. При этом \(g(0) < 0\), а \(g(1) >
        0\). Так как \(g : [0, 1] \to \realnum\), можно применить теорему
        Больцано-Коши для вещественных чисел. Согласно ей, найдётся \(x_0 \in
        [0, 1]\), для которого \(g(x_0) = 0\). При этом \(\varphi(x_0) \in A\),
        так как \(A\) линейно связно. Взяв \(a_0 = \varphi(x_0)\), получим, что
        \(f(a_0) = 0\).
      \end{proof}

      \definition[топологически несвязное множество]{
        Множество \(A \subset X\) называется \defined{топологически несвязным}, если
        на \(X\) найдутся такие два открытых множества, что
        \begin{enumerate}
          \item они оба пересекают \(A\), но не пересекаются друг с другом
          \item \(A\) содержится в их объединении.
        \end{enumerate}
      }
      Если таких двух множеств не найдётся, то \(A\) называют
      \defined[топологически связное множество]{топологически связным}.

      \begin{lemma}
        Пусть задано непрерывное отображение \(f : X \to \realnum\). Пусть также
        \(A \subset X\) топологически связно. Тогда \(f(A) \subset \realnum\)
        также топологически связно.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        Докажем от противного: пусть \(f(A)\) топологически несвязно. Тогда
        найдутся такие открытые непересекающиеся множества \(U, V\), что
        \(U \cap A \neq \varnothing\), \(V \cap A \neq \varnothing\) и
        \(A \subset U \cup V\). Но тогда, в силу непрерывности \(f\), их
        прообразы будут тоже открыты. Причём
        \begin{enumerate}
          \item \(f^{-1}(U)\) и \(f^{-1}(V)\) не пересекаются. Действительно,
          если бы существовала какая-то точка \(x\), лежащая в них обоих, то её
          образ лежал бы и в \(U\), и в \(V\), а они не пересекаются.
          \item \(A \subset f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)\).
          \item \(A\) пересекает и \(f^{-1}(U)\), и \(f^{-1}(V)\). Если бы с
          каким-то из прообразов \(A\) не пересекалось, то и \(f(A)\) не
          пересекалось бы с соответствующим образом.
        \end{enumerate}
        Из всего этого следует, что \(A\) является топологически несвязным, что
        прямо противоречит посылке леммы.
      \end{proof}
      \begin{theorem}[теорема Больцано-Коши для топологически связного множества]
        Пусть задано непрерывное отображение \(f : X \to \realnum\). Если на
        топологически связном множестве \(A \subset X\) нашлись такие элементы
        \(a_1\) и \(a_2\), что \(f(a_1) < 0\), а \(f(a_2) > 0\), то найдётся и
        такой \(a_0 \in A\), что \(f(a_0) = 0\).
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        Докажем от противного. Пусть не найдётся такого \(a_0 \in A\), что \(f(a_0) =
        0\), или, что то же самое, \(0 \notin f(A)\). Тогда \(f(A)\)
        топологически несвязно: оно содержится в объединении непересекающихся
        множеств \((-\infty, 0)\) и \((0, +\infty)\), причём пересекается с
        каждым из них: в точке \(f(a_1)\) с \((-\infty, 0)\), и в точке
        \(f(a_2)\) -- с \((0, +\infty)\). Но, согласно лемме, оно является
        топологически связным, противоречие.
      \end{proof}


  \section{Компактность в $\realnum^n$}
      Будем считать, что в \(\realnum^n\) задана \defined[евклидова
      норма]{евклидова норма}: \[
        \norm{x} \equiv \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}
      \].

      \begin{lemma}
        Пусть последовательность \(F \subset \realnum^n\) сходится.
        Тогда для замкнутости \(F\) необходимо и достаточно \[
          \forall{\{x_m\} \subset F} ~ \pred \exists{\lim x_m} \implies \lim x_m \in F
        \].
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        \begin{rightproof}[\(F\) замкнуто]
          Обозначим \(\lim x_m\) за \(x_0\). Допустим, что \(x_0 \notin F\).
          Тогда \(x_0\) лежит в его дополнении \(\realnum_n \setminus F\) -- открытом
          множестве, -- а значит, содержится в нём вместе с окрестностью. Так как
          последовательность сходится к \(x_0\), начиная с некоторого места она
          будет целиком лежать в этой окрестности, а значит и в \(\realnum^n
          \setminus F\). Это прямо противоречит посылке: \(\{x_m\} \subset F\).
        \end{rightproof}
        \begin{leftproof}[предел любой сходящейся последовательности на \(F\)
        тоже лежит в \(F\)]
          Доказательство снова построим
          от противного: пусть \(F\) не замкнуто. Тогда его дополнение
          \(\realnum^n \setminus F\) не открыто, а значит, не всякая его точка
          лежит в нём вместе с окрестностью. То есть, для некоторых точек сколь
          малую окрестность ни возьми, она будет пересекаться с \(F\). Пусть
          \(x_0 \in \realnum^n \setminus F\) -- такая точка. Рассмотрим её
          окрестность радиуса \(\frac{1}{m}\). Её пересечение с \(F\) не пусто.
          Возьмём оттуда произвольный элемент в качестве элемента
          последовательности \(x_m\). Таким образом, \[
            x_m \in U\left(x_0, \frac{1}{m}\right) \cap F \subset F
          \]. Также, очевидно, \[
            U\left( x_0, \frac{1}{N} \right) \supset U\left( x_0,
            \frac{1}{N + 1} \right) \supset \cdots
          \], а значит, шар радиуса \(\frac{1}{N}\) будет содержать все
          элементы, начиная с \(N\). Это даёт нам нам основание утверждать, что
          \(x_m \to x_0\): \[
            \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{m > N} ~ \pred x_m
            \in U\left( x_0, \varepsilon \right)
          \]. Действительно, для любого \(\varepsilon\) в качестве \(N\) можно взять
          \(\frac{1}{\varepsilon}\), и утверждение будет верно.

          Так, имеем \(\{x_m\} \subset F\) и \(x_m \to x_0\). Тогда, согласно
          посылке, \(x_0 \in F\), а мы определили \(x_0\) как точку из
          \(\realnum^n \setminus F\) -- противоречие. Значит, таких точек не
          существует, то есть, \(\realnum^n \setminus F\) -- открытое, и, как
          следствие, \(F\) -- замкнутое.
        \end{leftproof}
      \end{proof}

      \begin{theorem}[равносильность замкнутости + ограниченности и
      секвенциальной компактности]
        Пусть \(K \subset \realnum^n\). \(K\) -- секвенциальный компакт если и
        только если он замкнут и ограничен.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{rightproof}[\(K\) -- секвенциальный компакт]
          По определению секвенциального компакта, в любой последовательности
          можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причём её предел
          будет лежать в \(K\).

          Рассмотрим произвольную последовательность \(\{x_m\} \subset K\),
          сходящуюся к \(x_0\). По определению секвенциального компакта, в ней
          можно выделить сходящуюся подпоследовательность -- она тоже сходится к
          \(x_0\), -- и её предел лежит в \(K\). Тогда \(x_0\) лежит в \(K\). В
          силу произвольности \(\{x_m\}\), можем воспользоваться леммой, из
          которой получим, что \(K\) -- замкнутое.

          Ограниченность секвенциального компакта уже доказана в соответствующей
          теореме.
%          Ограниченность докажем от противного: пусть \(K\) неограниченно.
%          Тогда любая последовательность \(\{x_m\}\), даже такая, для которой верно
%          \(\abs{x_m} \to +\infty\), будет содержаться в \(K\).
%          Вместе с \(\abs{x_m}\), любая подпоследовательность
%          \(\abs{x_{m_k}} \to +\infty\). Но это
%          как раз значит, что любая \(x_{m_k}\) расходится, а по определению
%          секвенциального компакта, найдётся хотя бы одна \(x_{m_k}\), которая
%          сходится.
        \end{rightproof}
        \begin{leftproof}[\(K\) замкнуто и ограничено]
          Множество \(K\) ограниченно: \[
            \exists{L > 0} : \forall{x \in K} ~ \pred \norm{x} \le L
          \]. Тогда любая последовательность \(\{x_m\} \subset K\) лежит в шаре
          \(B(0, L)\), а такой шар, согласно соответствующей лемме, --
          секвенциальный компакт. Значит, в любой последовательности можно
          выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой попадёт в
          шар. Но так как \(K\) замкнуто, то, по лемме, предел попадает в \(K\).
        \end{leftproof}
      \end{proof}

      \begin{lemma}
        Топологический компакт всегда замкнут.
      \end{lemma}
      \begin{proof}
        Допустим, что это не так.
        Тогда, по лемме, найдётся такая
        сходящаяся последовательность \(\{x_m\} \subset K\), что её предел
        \(x_0\) не содержится в \(K\).

        Будем рассматривать замкнутые шары \(B(x_0, \frac{1}{m})\). Дополнение
        каждого из таких шаров открыто: \[
          U_m = X \setminus B\left( x_0, \frac{1}{m} \right)
        \]. Более того, рассмотрим произвольный \(x \neq x_0\). Всегда можно
        подобрать \(m\), для которого \(\rho(x, x_0) > \frac{1}{m}\). Это будет
        означать, что \(x\) не попадает в шар \(B(x_0, \frac{1}{m})\), а значит,
        лежит в его дополнении \(U_m\). Таким образом, все точки, кроме \(x_0\),
        содержатся в объединении \(U_m\): \[
          X \setminus \{x_0\} = \bigcup_{m \in \natnum} U_m
        \].

        \(x_0\), по предположению, не лежит в \(K\), отсюда
        \{
          \[
            K \subset X
          \], \[
            K \hiderel{=} K \setminus \{x_0\} \subset X \setminus
            \{x_0\}
          \],
        \}
        то есть, \(X \setminus \{x_0\}\) -- открытое покрытие \(K\).
        Тогда в нём есть конечное подпокрытие.

        Заметим следующий факт: \[
          B\left( x_0, 1 \right) \supset B\left( x_0, \frac{1}{2} \right)
          \supset \cdots
        \], а отсюда \[
          U_1 \subset U_2 \subset \cdots
        \]. Так, найдётся некоторый \(N\), для которого \(K\) целиком лежит в \(U_N\), а
        значит, \(K\) не имеет общих точек с \(B(x_0, \frac{1}{N})\).

        Но, с другой стороны, \(x_m \to x_0\), а значит, сколь малым ни возьми
        \(\frac{1}{N}\), начиная с некоторого
        номера все члены последовательности будут лежать в шаре \(B(x_0,
        \frac{1}{N})\). Этот шар не пересекается с \(K\), значит, начиная с
        некоторого места, все члены последовательности не лежат в \(K\). А мы
        определили \(\{x_m\}\) как лежащую в \(K\) полностью -- противоречие.
        Значит, таких последовательностей не существует, что гарантирует
        замкнутость \(K\).
      \end{proof}
      \definition[диаметр]{
        В метрическом пространстве \(X\) наибольшее возможное расстояние между
        точками множества называется \defined{диаметром} этого множества: \[
          \forall{a_1, a_2 \in A} ~ \pred \rho(a_1, a_2) \le \diam{A}
        \].
      }
      \note{Диаметр многомерного прямоугольника -- самая длинная его диагональ.}
      \note{Если двумерный прямоугольник разделить на четыре равных части, то
      диаметр уменьшится вдвое.
      Действительно, в двумерном пространстве при делении прямоугольника на
      четверти, диагонали делятся пополам.}
      \begin{theorem}[равносильность замкнутости + ограниченности и
      топологической компактности]
        Пусть \(K \subset \realnum^n\). \(K\) -- топологический компакт если и
        только если он замкнут и ограничен.
      \end{theorem}
      \begin{proof}
        \begin{rightproof}[\(K\) -- топологический компакт]
%          Рассмотрим вложенные друг в друга шары \(U(0, m)\). Их объединение
%          есть \(\realnum^n\): \[
%            \bigcup_{m \in \natnum} U(0, m) = \realnum^n
%          \]. Так как \(K \subset \realnum^n\), объединение шаров является
%          открытым покрытыием \(K\).
%
%          Так как \(K\) -- топологический компакт, из этого открытого покрытия
%          можно выделить конечное подпокрытие: найдётся такой радиус
%          \(N \in \natnum\), что \(K \subset U(0, N)\). А это означает, что
%          \(K\) ограничен.
          По лемме \(K\) замкнут, а по соответствующей теореме -- ограничен.
        \end{rightproof}
        \begin{leftproof}[\(K\) замкнуто и ограничено]
          Докажем для двумерного пространства. В \(n\)-мерном случае
          доказательство полностью аналогично, но требует большей возни с
          диаметрами.

          Доказательство построим от противного: допустим, \(K\) не является
          топологическим компактом. Тогда найдётся некоторое его открытое
          покрытие, у которого выделить конечное подпокрытие невозможно.
          Обозначим его следующим образом: \[
            K \subset \bigcup_{i \in I} U_i
          \].

          Так как \(K\) ограниченно, его можно уместить в \(n\)-мерном
          прямоугольнике \(P_1 = \Delta_1^x \times \Delta_1^y \times \cdots\).
          Так как \(K\) содержится в \(P_1\), их пересечение не может быть
          пустым. Выберем из этого пересечения точку \(x_1\).

          Разделим каждый из отрезков \(\Delta_1\) пополам -- получим
          \(2^n\) \(n\)-мерных прямоугольников.        
          Так как \(K\) содержится в их
          объединении, хотя бы один из них пересекается с \(K\). Более того,
          хотя бы один из прямоугольников, пересекающихся с \(K\) не имеет
          конечного подпокрытия в покрытии \(\bigcup U_i\): если бы для каждого
          из них оно существовало, то их объединение было бы конечным
          подпокрытием для \(K\).
          Обозначим такой прямоугольник
          за \(P_2 = \Delta_2^x \times \Delta_2^y \times \cdots\),
          и возьмём из \(P_2 \cap K\) точку \(x_2\).
          
          Повторив такие действия \(m\) раз, мы получим следующие
          последовательности:
          \begin{itemize}
            \item последовательность прямоугольников \(P_m\), причём ни для
            одного \(m\) \(P_m \cap K\) не имеет конечного подпокрытия
            \item последовательности вложенных координатных отрезков:
            \{
              \[
                \Delta_{n}^x \subset \Delta_{n - 1}^x \subset \cdots \subset
                \Delta_1^x
              \], \[
                \Delta_{n}^y \subset \Delta_{n - 1}^y \subset \cdots \subset
                \Delta_1^y
              \], \[
                \cdots
              \]
            \}
            \item последовательность точек \(\{x_m\}\), для которой верно \(x_m
            \in P_m \cap K\).
          \end{itemize}
          К семействам вложенных отрезков -- их длины стягиваются к нулю, --
          можно применить теорему Кантора, согласно которой в каждом из них
          найдётся точка, общая для всех отрезков. Так, при любом \(m\)
          \(a_x \in \Delta_m^x\), \(a_y \in \Delta_m^y\), и т.\,д.
          Обозначим за \(x_0\) следующую точку: \[
            x_0 = (a_x, a_y, \cdots)
          \]. Эта точка принадлежит всем прямоугольникам, а \(x_m \in P_m\) по
          построению последовательности. Тогда \(\rho(x_m, x_0) \le \diam{P_m}\).

          В двумерном пространстве при делении прямоугольника на четверти,
          диаметр уменьшается вдвое, поэтому для двумерного пространства верно
          следующее соотношение: \[
            \diam{P_m} = \frac{\diam{P_1}}{2^m}
          \]. Отсюда \[
            \lim_m \diam{P_m} = 0
          \], что верно не только в двумерном пространстве, но в общем случае
          это доказывается сложнее.

          Так, \(\rho(x_m, x_0) \to 0\), то есть, \(x_m \to x_0\); причём
          \(x_0 \in K\), так как \(K\) замкнуто, а \(x_m \in P_m \cap K \subset
          K\).

          Если \(x_0\) лежит в \(K\), то она лежит и в его открытом покрытии: \[
            x_0 \in \bigcup_{i \in I} U_i
          \]. Это значит, что \(x_0\) содержится хотя бы в одном множестве из
          этого объединения: \[
            \exists{i_0 \in I} : \pred x_0 \in U_{i_0}
          \]. Так как эти множества открытые, \(x_0\) содержится в
          \(U_{i_0}\) вместе с окрестностью: \[
            \exists{\varepsilon > 0} : \pred U(x_0, \varepsilon) \subset
            U_{i_0}
          \].

          С другой стороны, так как \(\diam{P_m} \to 0\), начиная с некоторого
          места \(\diam{P_m} < \varepsilon\). Так как точка \(x_0\) содержится в
          \(P_m\), это будет означать, что все точки прямоугольника удалены от
          \(x_0\) менее, чем на \(\varepsilon\), то есть, \[
            P_m \subset U(x_0, \varepsilon)
          \].

          Запишем полученные вложения вместе: \[
            P_m\cap K \subset P_m \subset U(x_0, \varepsilon) \subset U_{i_0}
          \]. Таким образом, для \(P_m \cap K\) обнаружилось конечное
          подпокрытие, чего при отсутствии конченого подпокрытия для \(K\) быть
          не может.
        \end{leftproof}
      \end{proof}
